空间向量与立体几何

一、知识速览

二、考点速览

知识点1  空间向量的概念及有关定理

1、空间向量的有关概念

（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；

（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；

（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；

（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；

（5）共面向量：平行于同一个平面的向量

2、空间向量的有关定理

（1）共线向量定理：对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实数 ，使得 .

（2）共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .

（3）空间向量基本定理：如果三个向量 ， ， 不共面，那么对空间任一向量 ，存在有序实数组{x，y，z}，使得 ，其中， 叫做空间的一个基底．

知识点2  两个向量的数量积及其运算

1、空间向量的数量积及运算律

（1）数量积及相关概念

①两向量的夹角：已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点O，作 ， ，则∠AOB叫做向量 与 的夹角，记作 ，其范围是[0，π]，

若 ，则称 与 互相垂直，记作 .

②非零向量 ， 的数量积 ．

（2）空间向量数量积的运算律

①结合律： ；

②交换律： ；

③分配律： .

2、空间向量的坐标表示及其应用

设 ， ，

知识点3  空间中的平行与垂直的向量表示

1、直线的方向向量和平面的法向量

（1）直线的方向向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量 为直线l的方向向量．

（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，则向量 叫做平面α的法向量．

2、空间位置关系的向量表示

知识点4  利用空间向量求空间角

1、异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则 ，其中 ， 分别是直线a，b的方向向量．

2、直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A， 为l的方向向量， 为平面α的法向量，

φ为l与α所成的角，则 .

3、二面角

（1）若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量 与 的夹角，如图a.

（2）平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为 ，平面β的法向量为 ， ，则二面角α­l­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则 ，如图b，c.

知识点5  利用空间向量求空间距离

1、点到直线的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，

设向量在直线l上的投影向量为＝a，

则点P到直线l的距离为eq r(a²－(a·u)²) (如图)．

2、点到平面的距离

已知平面 的法向量为  , 是平面 内的任一点， 是平面 外一点，

过点 作则平面 的垂线 ，交平面 于点 ，

则点 到平面 的距离为 （如图）.

3、线面距和面面距

线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

（1）直线 与平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。

（2）两平行平面 之间的距离： ，其中 ， 是平面 的法向量。

一、用基向量表示指定向量的方法

（1）结合已知向量和所求向量观察图形．

（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．

（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．

【典例1】（2023·全国·高三对口高考）如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 ， ，则 （    ）

A．         B．        C．         D．

【答案】D

【解析】由题意可得：

.故选：D.

【典例2】（2021·全国·高三专题练习）在四面体 中， ，点 在棱 上，且 ， 为 中点，则 （    ）

A．         B．        C．         D．

【答案】B

【解析】 点 在线段 上，且 ， 为 中点，

， ，

．故选：B．

【典例3】（2023秋·福建厦门·高三校考阶段练习）在三棱锥P-ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若 ， ， ，则 =（    ）

A．         B．         C．         D．

【答案】D

【解析】取 中点为 ，

三个式子相加可得 ,

又

,故选：D

二、证明三点共线和空间四点共面的方法比较

【典例1】（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 不共面， ， ， ．求证：B，C，D三点共线．

【答案】证明见解析

【解析】因为 ， ， ，

所以 ，

，

所以 ，

所以 ，又 为公共点，

所以B，C，D三点共线．

【典例2】（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体 中， ， ．

（1）求证： 、 、 三点共线；

（2）若点 是平行四边形 的中心，求证： 、 、 三点共线．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）由题意， ， ，

故

 ,

,

故 ，由于 有公共点A，

故A、 、 三点共线；

（2）由题意，点 是平行四边形 的中心，

故

，

故 ,因为 有公共点D，

故 、 、 三点共线．

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）在四棱柱 中， ， ．

（1）当 时，试用 表示 ；

（2）证明： 四点共面；

【答案】（1） ；（2）证明见解析

【解析】（1）四棱柱 中， ，

因为 ，

所以

；

（2）设 （ 不为0），

，

则 共面且有公共点 ，则 四点共面；

【典例4】（2022·全国·高三专题练习）如图，在几何体ABCDE中， ABC， BCD， CDE均为边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求证：A，B，D，E四点共面；

【答案】证明见解析

【解析】取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，

因为平面 平面 ，且平面 平面 ，

而 为等边三角形，所以 ，因此 平面 ，

因为平面 平面 ，且平面 平面 ，

又因为 为等边三角形，所以 ，因此 平面 ，

又因为 平面 ，因此 ，

又因为 为等边三角形，所以 ，

因此 两两垂直，

从而以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

又因为 均为边长为2的等边三角形，

所以 ， ， ，

设 ，则 ， ， ，

由于 ，所以 ，解得 ，

因此 ，所以 ， ， ，

所以 ，由空间向量基本定理可知： 共面，所以 四点共面；

三、空间向量数量积的应用

1、求夹角：设向量 ， 所成的角为 ，则 ，进而可求两异面直线所成的角；

2、求长度（距离）：运用公式 ，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；

3、解决垂直问题：利用 ，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。

【典例1】（2023·全国·高三对口高考）若 为非零向量， ，则 与 一定（    ）

A．共线        B．相交        C．垂直        D．不共面

【答案】C

【解析】因为 ，所以 ， ，

又因为

，所以 ，

又因为 ，所以 .故选：C

【典例2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在平行六面体 中，底面 ，侧面 都是正方形，且二面角 的大小为 ， ，若 是 与 的交点，则 （    ）

A．         B．         C．         D．3

【答案】B

【解析】在平行六面体 中，四边形 是平行四边形，

又 是 的交点，所以 是 的中点，

所以 ，

由题意 ， ， ，

所以 ，

即 ．故选：B.

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，正三棱柱 中， ， ， ， ， .

（1）试用 ， ， 表示 ；

（2）求异面直线 与 所成角的余弦值.

【答案】（1） ；（2）

【解析】（1）因为 ，

所以 .

（2）因为 ，

且 ， ， ， ，

可得 ，

，

，

则 ，

所以异面直线 与 角的余弦值为 .

四、利用空间向量证明空间线面位置关系

1、利用空间向量证明平行的方法

2.利用空间向量证明垂直的方法

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体 中， 平面 ， ， ， ． 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 ．证明： 平面 ；

【答案】证明见解析

【解析】因为 ， 平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，

过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设 ，则 ，

可得 ， ， ， ，

因为 是 的中点，则 ，

则 ，因为 ， ，

可得 ，

因为平面BCD的法向量可取为 ，

则 ，且 平面BCD，所以PQ 平面BCD．

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，平面 平面 ，四边形 为正方形， 是直角三角形，且 ， ， ， 分别是线段 ， ， 的中点，求证：平面 平面 ．

【答案】证明见解析

【解析】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，

所以AB，AP，AD两两垂直，

以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则 ．

所以 ， ， ， ，

设 是平面EFG的法向量，

则 ， ，即 ，得 ，

令 ，则 ， ，所以 ，

设 是平面PBC的法向量，

由 ， ，即 ，得 ，

令 ，则 ， ，所以 ，

所以 ，所以平面EFG∥平面PBC．

【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，E是 的中点，已知 ， ．

（1）求证： ；

（2）求证：平面 平面 ．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）以A为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

则 ， ， ， ， ，

所以 ， ，

所以 ，所以 ．

（2）连接 ， ，如图所示，

因为 面 ， 面 ，所以 ，

又因为四边形 为正方形，所以 ，

又因为 ， 、 面 ，所以 面 ，

又因为 面 ，所以平面 平面 ．

五、用向量法求异面直线所成角的一般步骤

（1）建立空间直角坐标系；

（2）用坐标表示两异面直线的方向向量；

（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

（4）注意两异面直线所成角的范围是eqblc(rc](avs4alco1(0，f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．

【典例1】（2023秋·江西抚州·高三校考开学考试）在正方体 中， 是棱 上一点， 是棱 上一点， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（    ）

A．         B．         C．         D．

【答案】A

【解析】不妨设 ，

以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，

则 ，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．故选：A

【典例2】（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 面 ， ，则直线 与直线 夹角的余弦值为（    ）

A．         B．         C．         D．

【答案】C

【解析】在直三棱柱 中， 平面 ， 平面 ，

所以 ， ，

平面 ， 平面 ，所以 ，

所以 互相垂直，

以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，

设 ，

则 ，

可得 ， ，

所以 .

所以直线 与直线 夹角的余弦值为 .故选：C.

【典例3】（2023·海南·统考模拟预测）如图，四棱锥 内接于圆柱， 为 的中点， 和 为圆柱的两条母线， ，四边形 为正方形，平面 与平面 的交线 平面 ，当四棱锥 的体积最大时，异面直线 与 所成角的余弦值为        ．

【答案】

【解析】如图所示：设 ，因为 ，所以 ，

则 ，

，令 ，得 或 （舍去），

当 时， ，当 时， ，

所以当 时， 取得最大值，此时 ，

建立如图所示空间直角坐标系，

则 ，

所以 ，

则 ，

所以 ，

所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，

故答案为：

六、用向量法求解直线与平面所成角的方法

如图所示，设直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，直线l与平面α所成的角为φ，向量 与 的夹角为θ，则有 .

【典例1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在长方体 中， ， ，对角线 与平面 交于 点．则 与面 所成角的余弦值为（    ）

A．         B．         C．         D．

【答案】D

【解析】如图，建立空间直角坐标系：

,1, ， ,1, ，

设平面 的法向量为 , , ，

则 ，

令 ，则 ， ，所以 ,2, ，

又 ,1, ，因为点 在 上，

设 , , ，所以 , , ，

所以 , , ，

因为 面 ，所以 ，

所以 , , ,2, ，

所以 ，解得 ，所以 , , ，

平面 的法向量为 ,1, ，

设 与平面 所成角为 ，

所以 ，

所以 ，故选：D．

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知菱形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， .求直线 与平面 的夹角.

【答案】

【解析】设 ，

因为菱形 和矩形 所在的平面互相垂直，

平面 平面 ，矩形 中 ，

又 面 ，所以 平面 ，

以 点为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，

过 点且平行于 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，

因为在菱形 中， ， ，

所以 是正三角形，则 ，

又 ，则 ，

因为 轴垂直于平面 ，

因此可得平面 的一个法向量为 ，

又 ，设直线 与平面 的夹角为 ，

则有 ，即 ，

所以直线直线 与平面 的夹角为 .

【典例3】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱 中， ，D，E，F分别是棱 ，BC，AC的中点， ．

（1）证明：平面 平面 ；

（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）在 中，因为E，F分别是BC，AC的中点，

所以 ． 平面 ， 平面 ，

则 平面 ，

因为 ，则 ，又 ，

所以四边形 为平行四边形，

所以 ， 平面 ， 平面 ，

则 平面 ，

又因为 ， 且 平面 ，

所以平面 平面 ．

（2）因为 ， ， ，

由余弦定理可得 ，

所以 ，从而 ．

以B为坐标原点 ， ， 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．

故 ， ， ， ．

从而 ， ， ．

设平面ABD的法向量为 ，

由 ，得 ，

取 ，则 为平面ABD的一个法向量，

所以 ，

所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为 ．

七、利用向量法解二面角问题的策略

1、找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

2、找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（    ）

A．－         B．        C．－         D．

【答案】B

【解析】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴

建立空间直角坐标系B­xyz，则M ，N ， .

解法一  取MN的中点G，连接BG，AG，则G .

因为 为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，

故∠AGB为两平面夹角或其补角．

又因为 ， ，

所以， ，

设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，

则 .

故所求两平面夹角的余弦值为 .

解法二  设平面AMN的法向量

由于 ， ，

则 ，即 ，

令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是 ，

同理可求得平面BMN的一个法向量 .

所以 ，

设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，

则 .

故所求两平面夹角的余弦值为 .故选：B.

【典例2】（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）在四棱锥 中，平面 平面 ，侧面 是等边三角形， ， ， 在棱 上，且满足 .

（1）求证： ；

（2）求二面角 的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，

∵ ，∴ ，

又∵ ， ，∴ ，

∴四边形 是平行四边形，而 ，

故平行四边形 是矩形，∴ ，

又∵ 为等边三角形且 为 中点.

∴ ，

平面 ， ，

∴ 面 ， 面 ，∴ .

（2）法一：∵平面 平面 ，且平面 平面 ， ，

平面 ，∴ 平面 ， 平面 ，

∴ ， ， 两两垂直，

连接 、 ，以 中点 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴，

建立如上图所示空间直角坐标系，

设 ，则 ， ， ， ，

∴ ， ，

平面 的一个法向量可取为 ，

设平面 的法向量为 ，

所以 ，即 ，令 ，则取 ，

设二面角 的平面角为 ，

则 ，

由图知：二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 .

法二：由（1）知，∵面 面 ，且面 面 ，

平面 ，又∵ ，∴ 平面 ，

而 平面 ，故 ，

如图，连接 、 ，作 于 ，连接 ，

平面 ，故 平面 ，

平面 ，故 ，

则 即为二面角 的平面角，

设 ，在 中， ,

故 ，

是等边三角形，则 ， ,

故 .

易错点1  忽视零向量

点拨：在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。

【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在下列命题中：

①若向量 共线，则向量 所在的直线平行；

②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；

③若三个向量 两两共面，则向量 共面；

④已知空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数 使得 其中正确命题的个数是（    ）

A．0        B．1        C．2        D．3

【答案】A

【解析】对于①，若向量 共线，则向量 所在的直线平行，也可能共线，故①错误；

对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；

对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，

例如空间直角坐标系 轴所在的向量两两共面，但是显然 轴不共面，故③错误；

对于④，若 共线时，显然 共面，于是 只能表示和 共面的向量，

对于空间中的任意向量 则不一定成立，故④错误.

于是四个选项都是错的.故选：A

【典例2】（2023秋·重庆万州·高二校考阶段练习）（多选）以下四个命题中错误的是（    ）

A．向量 ， ，若 ，则

B．若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则

C．对于空间向量 、 、 ，满足 ， ，则

D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若 ，则P、A、B、C四点共面

【答案】ABD

【解析】当 为零向量时，满足 ，但是 与 不垂直，故A错；

当 为零向量时， 与 不一定共线，故B错；

相等向量具有传递性，故C正确；

因为 ，所以 不共面，故D错.故选：ABD.

易错点2  忽视异面直线的夹角与向量的夹角范围不同

点拨：两异面直线所成角的范围是 。两向量的夹角的范围是 ，需要注意两者的区别与联系。

【典例1】（2022·安徽安庆·校考三模）已知直平行六面体 中， ，则直线 与 所成角的余弦值为（    ）

A．         B．         C．         D．0

【答案】A

【解析】取 的中点 ，连接 ，因为 ，

所以 ，故 为等边三角形，

故 ⊥ ，所以 ⊥ ，

又平行六面体 为直平行六面体，

故以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，

则 ，

设直线 与 所成角的大小为 ，

则 .

与 所成角的余弦值为 .故选：A

易错点2  线面角与向量夹角转化不清等问题

点拨： 若直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量为 ，平面的法向量为 ，则sin =|cos< , >|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。

【典例1】（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）如图所示，在圆锥 中， 为圆锥的顶点， 为底面圆圆心， 是圆 的直径， 为底面圆周上一点，四边形 是矩形．

（1）若点 是 的中点，求证： 平面 ；

（2）若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1） 分别是 中点，连接 ，则 ，

平面 平面 ，则 平面 ，

四边形 是矩形， ，同理有 平面 ，

又 ， 平面 ，故平面 平面 ，

又 平面 ，故 平面 .

（2）解法一：

在圆锥 中， 平面 ， 平面

则平面 平面 ，平面 平面 ，

作 于点 ，连接 ，

则 面 是 在平面 上的射影，

是直线 与平面 所成的角，

在直角三角形 中， ，则 ，

平面 ，则 平面 ，

在直角三角形 中， ， ，则 ，

在直角三角形 中， ，

故 ，即直线 与平面 所成角的余弦为 .

解法二：在圆锥 中， 平面 ，

在直角三角形 中， ，则 ， ，

在直角三角形 中， ，则 ，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则 ，

，

设 是平面 的法向量，则 ，

令 得 ，

设直线 与平面 所成角为 ，

则 ，

.

易错点4  二面角概念模糊

点拨：若两个平面的法向量分别为 ， ，若两个平面所成的锐二面角为 ，则 ；若两个平面所成二面角为钝角，则 。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围．

【典例1】（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 是边长为2的正三角形， .

（1）求证： ；

（2）若平面 平面 ，求二面角 的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）取 的中点 ，连接 ，

因为 是边长为2的正三角形，所以 ，

在菱形 中， ，则 为等边三角形，所以 ，

又 平面 ，所以 平面 ，

又 平面 ，所以 ；

（2）由（1）得 ， ，

因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，

所以 平面 ，

如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系， ，

则 ，

因为 轴 平面 ，

所以可取平面 的法向量为 ，

，

设平面 的法向量为 ，

则有 ，

令 ，则 ，所以 ，

则 ，

由图可知，二面角 为钝二面角，

所以二面角 的余弦值为 .

【典例2】（2023秋·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 为 的中点．

（1）证明： ；

（2）求二面角 的平面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2） .

【解析】（1）在四边形 中， ，取 中点 ，连接 ，

由 ，得 ，则四边形 是平行四边形，

又 ，因此 是矩形，即有 ，

有 ， ，

从而 ，即 ，

而 平面 ， 平面 ，则 ，

又 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ，

所以 .

（2）由（1）知 两两垂直，以点 为原点，

直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，

依题意， ， ，

设平面 的一个法向量 ，

则 ，令 ，得 ，

设平面 的一个法向量 ，

则 ，令 ，得 ，

因此 ，

显然二面角 的平面角为钝角，

所以二面角 的平面角的余弦值为 .